【高中正余弦定理公式】在高中数学中，正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，广泛应用于几何、物理以及工程等领域。它们可以帮助我们求解任意三角形中的边长或角度，尤其在已知部分信息的情况下非常实用。
一、正弦定理（Sine Law）
定义： 在任意一个三角形中，各边与其对角的正弦值的比相等，即：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 分别为角 $ A $、$ B $、$ C $ 的对边。
适用情况：
- 已知两角及一边
- 已知两边及其夹角的对角
二、余弦定理（Cosine Law）
定义： 在任意一个三角形中，任一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边与夹角的余弦乘积的两倍，即：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
$$
$$
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B
$$
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$
适用情况：
- 已知三边求角度
- 已知两边及其夹角，求第三边
三、总结对比表
| 定理名称 | 公式表达 | 适用条件 | 主要用途 |
| 正弦定理 | $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ | 知道两角及一边，或两边及一角的对角 | 求未知边或角 |
| 余弦定理 | $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ 等 | 知道三边求角，或两边及夹角求第三边 | 求未知边或角 |
四、实际应用举例
例1： 已知三角形中，角 $ A = 30^\circ $，边 $ a = 5 $，角 $ B = 45^\circ $，求边 $ b $。
使用正弦定理：
$$
\frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}
\Rightarrow b = \frac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{2}
$$
例2： 已知三角形中，边 $ a = 7 $，边 $ b = 5 $，夹角 $ C = 60^\circ $，求边 $ c $。
使用余弦定理：
$$
c^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
\Rightarrow c = \sqrt{39}
$$
五、学习建议
掌握正余弦定理的关键在于理解其几何意义，并通过大量练习来熟悉各种应用场景。建议结合图形辅助记忆，同时注意单位转换（如角度转弧度）和计算准确性。
通过灵活运用这两个定理，可以解决许多实际问题，为后续学习立体几何、向量分析等打下坚实基础。