在立体几何中，计算点到平面的距离是一个基础而重要的概念。这个距离是指从一个特定的点到给定平面的最短距离。这一距离可以用于解决各种问题，如确定点是否位于平面的一侧或另一侧，或者用于计算几何体的体积和表面积等。

点到平面的距离公式

假设我们有一个点 \(P(x_1, y_1, z_1)\)，以及一个平面方程为 \(Ax + By + Cz + D = 0\)。那么，点 \(P\) 到该平面的距离 \(d\) 可以通过下面的公式来计算：

\[d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

这个公式基于向量和点积的概念。其中，\(A, B, C\) 是平面法线向量的分量，\(D\) 是常数项，\(x_1, y_1, z_1\) 是点 \(P\) 的坐标。

公式的推导

考虑平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\) 和点 \(P(x_1, y_1, z_1)\)。首先，构造从平面任意一点 \(Q(x_0, y_0, z_0)\) 到点 \(P\) 的向量 \(\vec{QP}\)。然后，我们知道平面的法向量是 \(\vec{n} = (A, B, C)\)。点到平面的距离实际上就是向量 \(\vec{QP}\) 在法向量 \(\vec{n}\) 方向上投影的长度。

利用点积的性质，我们可以写出：

\[\text{proj}_{\vec{n}} \vec{QP} = \frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|}\]

因为 \(\vec{QP} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)\)，并且根据点在平面上的关系，我们可以得到 \(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0\)。将这些代入上述公式并进行简化，最终得到点到平面的距离公式。

应用实例

假设有一个点 \(P(3, 4, 5)\) 和一个平面 \(2x - 3y + 6z - 10 = 0\)，我们可以使用上面的公式计算点 \(P\) 到平面的距离：

\[d = \frac{|23 - 34 + 65 - 10|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{|6 - 12 + 30 - 10|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{14}{\sqrt{49}} = 2\]

因此，点 \(P\) 到平面的距离为 2 单位。

理解点到平面的距离不仅有助于解决具体问题，而且也是掌握立体几何知识的重要一步。