题目：连续性与可导性的关系

在数学分析中，连续性和可导性是函数性质中的两个重要概念。两者之间有着密切的联系，但它们之间的关系并不是简单的包含关系。本文将探讨连续性与可导性之间的关系，并举例说明它们之间的区别。

首先，我们需要明确连续性和可导性的定义。一个函数f(x)在某一点x0处连续，意味着当x无限接近于x0时，f(x)无限接近于f(x0)，即：

\[ \lim_{{x \to x_0}} f(x) = f(x_0) \]

而可导性则表示函数在某点存在切线，即函数在该点的导数存在。更具体地说，如果函数f(x)在点x0处可导，那么函数在x0处的导数f'(x0)可以表示为：

\[ f'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

从上述定义可以看出，可导性隐含了连续性。因为如果一个函数在某点可导，则它必然在该点连续。这是因为可导性的定义中涉及到函数值的变化率，而这种变化率的存在要求函数值必须是连续变化的。然而，连续性并不保证可导性。换句话说，一个函数可能在某点连续，但在该点不可导。

为了更好地理解这一点，我们可以考虑一个例子。考虑函数f(x) = |x|（绝对值函数）。这个函数在其定义域内处处连续，但是在x=0这一点不可导。原因是当我们试图计算x=0处的导数时，我们发现左极限和右极限不相等：

\[ \lim_{{\Delta x \to 0^-}} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = -1 \]

\[ \lim_{{\Delta x \to 0^+}} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = 1 \]

因此，尽管绝对值函数在x=0处连续，但由于左右导数不相等，所以在该点不可导。

综上所述，虽然连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。一个函数在某点连续并不能保证其在该点可导。理解这些概念之间的关系对于深入学习微积分和数学分析至关重要。