在数学分析中，序列的收敛与发散是一个基本而重要的概念。简单来说，如果一个数列随着项数无限增加时逐渐接近某个特定值，我们就称这个数列为收敛；反之，如果数列没有这样的趋势，或者其项数增加时数值变化无规律可循，则称之为发散。

判断方法

1. 定义法

根据定义直接判断是最基础的方法。对于数列{a_n}，如果存在实数L，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），总能找到一个正整数N，当n>N时，都有|a_n - L| < ε成立，则称数列{a_n}收敛于L。如果找不到这样的L，则认为该数列发散。

2. 极限法

利用极限的概念来判断。如果数列{a_n}的极限存在，则数列收敛；若极限不存在或为无穷大，则发散。例如，数列\(\frac{1}{n}\)当n趋向于无穷大时，其极限为0，因此它是收敛的；而数列\(n^2\)当n趋向于无穷大时，其极限为无穷大，故它是发散的。

3. 比较判别法

通过与其他已知收敛或发散的数列进行比较来判断。比如，如果一个数列每一项的绝对值都小于另一个已知收敛数列相应项的绝对值，那么原数列也可能是收敛的。相反，如果一个数列每一项的绝对值都大于一个已知发散数列相应项的绝对值，那么原数列可能也是发散的。

4. 柯西准则

柯西收敛原理提供了一个非常实用的标准：如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当m,n>N时，都有|a_m - a_n| < ε成立，则数列{a_n}收敛。如果这个条件不满足，则数列为发散。

5. 有界性与单调性

对于一些特殊的数列，如单调有界数列，可以直接利用单调有界定理来判断。如果数列是单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么它一定收敛。否则，如果数列既不单调也不有界，则很可能发散。

总之，判断数列的收敛与发散需要综合运用多种方法，具体情况具体分析。在实际操作中，选择合适的方法可以更高效地解决问题。