向量组的秩是线性代数中的一个基本概念，它反映了向量组中线性无关向量的最大数量。求解向量组的秩，可以通过将这些向量按列组成矩阵，然后对该矩阵进行行初等变换（如行交换、倍乘非零常数和倍加）将其化为阶梯形或简化阶梯形矩阵。最后，矩阵中非零行的数量即为该向量组的秩。下面将详细说明这一过程。
1. 组成矩阵
首先，将向量组中的每个向量视为矩阵的一列，从而形成一个矩阵A。例如，若有向量组v1, v2, ..., vn，可以将它们组合成一个m×n的矩阵A，其中m是向量的维度，n是向量的数量。
2. 行初等变换
接下来，对矩阵A执行行初等变换，目的是将其化简为阶梯形矩阵或更简单的简化阶梯形矩阵（也称为行最简形）。阶梯形矩阵的特点是每一行的第一个非零元素（称为主元）位于上一行主元的右侧，且所有全零行位于矩阵底部。简化阶梯形矩阵则进一步要求主元均为1，并且每个主元所在的列在该主元之上和之下都是0。
3. 计算秩
最后，通过计算阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵中非零行的数量来确定向量组的秩。这个数量恰好等于原向量组中最大线性无关向量组的大小。
示例
假设我们有三个三维向量：v1 = (1, 0, 1)，v2 = (0, 1, 1)，v3 = (1, 1, 2)。将这些向量作为列组成的矩阵为：
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \]
通过行初等变换（比如，R3 - R1），得到：
\[ A' = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]
再通过行变换（比如，R3 - R2），得到简化阶梯形矩阵：
\[ A'' = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
在这个简化阶梯形矩阵中，可以看到有两行是非零行，因此向量组的秩为2，表明向量组中有两个线性无关的向量。
这种方法不仅适用于理论分析，也是计算机程序实现求解向量组秩的基础方法。