根号\(x\)（即\(x^{1/2}\)）的导数是微积分中的一个基本概念，它在数学、物理以及工程学等多个领域都有广泛的应用。要计算根号\(x\)的导数，我们可以使用幂函数的导数公式。
幂函数的导数公式为：如果\(f(x) = x^n\)，其中\(n\)是一个实数，则\(f'(x) = nx^{n-1}\)。这个公式告诉我们，对于任何幂函数，其导数可以通过将指数乘到变量前面，并将指数减一得到。
现在，让我们应用这个公式来求解根号\(x\)的导数。首先，我们注意到根号\(x\)可以写成\(x^{1/2}\)的形式。因此，根据幂函数的导数公式，我们有：
\[f(x) = x^{1/2}\]
\[f'(x) = \frac{1}{2}x^{(1/2)-1}\]
简化上述表达式，我们得到：
\[f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}\]
进一步简化，可以写作：
\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
因此，根号\(x\)的导数是\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。这意味着，对于根号\(x\)函数，其变化率（即导数）随着\(x\)的增加而减少。这一结果不仅展示了微分学的基本原理，还揭示了根号函数在其定义域内随\(x\)变化的行为特征。