对勾函数，通常指的是双曲正割函数（sech(x)）或者一些情况下也指双曲余弦函数（cosh(x)）的倒数形式。不过，在数学领域中，“对勾函数”并不是一个标准术语，不同的文献或教育背景可能有不同的理解。为了更准确地回答您的问题，我将假设您是指双曲余弦函数的倒数，即\(f(x) = \frac{1}{\cosh(x)}\)，有时也被称作双曲正割函数。
双曲余弦函数定义为：\[ \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]
因此，对勾函数（这里指双曲正割函数）可以表示为：\[ f(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}} \]
要找到这个函数的最小值，我们可以通过求导来分析。首先计算\(f(x)\)的一阶导数：
\[ f'(x) = -\frac{2(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} \]
令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = 0\)。接下来，通过二阶导数测试判断这一点是极大值点还是极小值点：
\[ f''(x) = \frac{4(e^{2x} + e^{-2x} - 2)}{(e^x + e^{-x})^3} \]
在\(x = 0\)时，\(f''(0) > 0\)，说明\(x = 0\)是一个极小值点。因此，\(f(x)\)的最小值发生在\(x = 0\)处，计算得到最小值为：
\[ f(0) = \frac{1}{\cosh(0)} = \frac{1}{\frac{e^0 + e^{-0}}{2}} = \frac{1}{1} = 1 \]
所以，双曲正割函数\(f(x) = \frac{1}{\cosh(x)}\)的最小值为1。这表明无论\(x\)取何值，\(f(x)\)的值始终大于等于1，反映了双曲正割函数的基本性质。