计算tan105°的值
在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具。今天我们来探讨如何计算$\tan 105^\circ$的值。
首先，我们可以利用三角函数的性质将105°拆分为两个已知角度之和：
$$
105^\circ = 60^\circ + 45^\circ
$$
根据三角函数的加法公式：
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
$$
其中，$A = 60^\circ$，$B = 45^\circ$。代入已知的特殊角值：
$$
\tan 60^\circ = \sqrt{3}, \quad \tan 45^\circ = 1
$$
将其代入公式：
$$
\tan 105^\circ = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ \cdot \tan 45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1}
$$
接下来化简分母：
$$
1 - \sqrt{3} \cdot 1 = 1 - \sqrt{3}
$$
因此：
$$
\tan 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}
$$
为了进一步简化，我们将分子和分母同时乘以$1 + \sqrt{3}$（即有理化分母）：
$$
\tan 105^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}
$$
分母部分使用平方差公式：
$$
(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2
$$
分子部分展开：
$$
(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} + 3 + 1 + \sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}
$$
因此：
$$
\tan 105^\circ = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2}
$$
将分子除以-2：
$$
\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}
$$
最终结果为：
$$
\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}
$$
总结来说，通过三角函数的加法公式以及有理化分母的方法，我们成功计算出$\tan 105^\circ = -2 - \sqrt{3}$。这表明，在特定角度下，三角函数的值可以通过分解和公式推导精确求解。这一过程也展示了数学推导的魅力和严谨性。
