函数极限的定义
函数极限是数学分析中的一个核心概念，它描述了当自变量接近某个特定值时，函数值的变化趋势。这一概念不仅为微积分奠定了理论基础，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
函数极限的定义可以分为两种情形：一种是函数在某一点处的极限；另一种是函数在无穷远处的极限。首先来看函数在某一点处的极限。设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 的附近有定义（但不要求在 \( x_0 \) 处一定有定义）。如果当自变量 \( x \) 无限接近 \( x_0 \) 时，函数值 \( f(x) \) 趋近于一个确定的数值 \( L \)，则称 \( L \) 是函数 \( f(x) \) 当 \( x \to x_0 \) 时的极限，记作：
\[
\lim_{x \to x_0} f(x) = L
\]
更形式化地讲，对于任意给定的正数 \( \varepsilon > 0 \)，总存在另一个正数 \( \delta > 0 \)，使得当 \( 0 < |x - x_0| < \delta \) 时，都有 \( |f(x) - L| < \varepsilon \)。这表明，无论我们要求函数值与 \( L \) 之间的差距多么小，只要 \( x \) 足够接近 \( x_0 \)，就可以保证这种条件成立。
其次，讨论函数在无穷远处的极限。如果当 \( x \) 的绝对值趋于无穷大时，函数值 \( f(x) \) 趋近于一个确定的数值 \( L \)，即：
\[
\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{或} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L
\]
同样可以用类似的 \( \varepsilon-\delta \) 语言进行严格定义。例如，对于任意 \( \varepsilon > 0 \)，总能找到一个实数 \( M > 0 \)，使得当 \( |x| > M \) 时，均有 \( |f(x) - L| < \varepsilon \)。
函数极限的概念看似抽象，但它实际上反映了自然界中许多现象的本质规律，如速度变化、温度调节等都可通过极限来刻画。掌握极限的定义及其性质，有助于深入理解后续的导数、积分等内容，并为解决实际问题提供强有力的工具。