分布函数的性质

分布函数是概率论中描述随机变量的重要工具，它刻画了随机变量取值小于或等于某一特定值的概率。设 \( X \) 是一个随机变量，其分布函数记为 \( F_X(x) \)，定义为：

\[

F_X(x) = P(X \leq x), \quad -\infty < x < +\infty.

\]

分布函数具有以下几个基本性质：

1. 非负性与有界性

分布函数的值始终位于区间 \([0, 1]\) 内，即对于任意实数 \( x \)，有：

\[

0 \leq F_X(x) \leq 1.

\]

这表明 \( F_X(x) \) 表示事件发生的概率，因此不可能小于 0 或大于 1。

2. 单调不减性

分布函数是单调非减的函数。若 \( x_1 < x_2 \)，则有：

\[

F_X(x_1) \leq F_X(x_2).

\]

这意味着随着自变量 \( x \) 的增大，随机变量取值小于或等于 \( x \) 的概率不会减少。

3. 右连续性

分布函数在任意点 \( x \) 处是右连续的，即：

\[

\lim_{x_n \to x^+} F_X(x_n) = F_X(x),

\]

其中 \( x_n > x \) 且 \( x_n \to x \)。这一性质反映了概率的累积特性：当 \( x \) 接近某个值时，事件的概率变化是平滑的。

4. 极限性质

分布函数在极限情况下满足以下条件：

\[

\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1.

\]

前者表示当 \( x \) 趋于负无穷时，随机变量取值小于或等于 \( x \) 的概率趋于零；后者则表明当 \( x \) 趋于正无穷时，该概率趋于完全确定（概率为 1）。

5. 概率计算

通过分布函数可以方便地计算随机变量落在某区间的概率。例如，对于任意两个实数 \( a < b \)，有：

\[

P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a).

\]

综上所述，分布函数不仅提供了随机变量的概率信息，还具备良好的数学性质，使其成为研究随机现象的重要工具。这些性质确保了分布函数能够准确描述随机变量的行为，并为理论分析和实际应用奠定了坚实基础。