范德蒙德行列式的应用与例题解析
范德蒙德行列式是线性代数中一个重要的概念，其形式简洁优美，具有广泛的应用价值。它在多项式插值、矩阵分解以及组合数学等领域扮演着关键角色。本文将通过一个具体的例题，帮助读者更好地理解范德蒙德行列式的定义及其计算方法。
范德蒙德行列式的定义
假设我们有一个 $ n \times n $ 的矩阵，其中第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素为 $ x_i^{j-1} $（即每一行是从 0 次幂到 $ n-1 $ 次幂的幂次排列）。那么该矩阵的行列式被称为范德蒙德行列式，记作：
$$
V(x_1, x_2, \dots, x_n) =
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}.
$$
范德蒙德行列式的值可以表示为：
$$
V(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i).
$$
例题解析
例题： 计算以下范德蒙德行列式的值：
$$
V(1, 2, 3) =
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 9
\end{vmatrix}.
$$
解题步骤：
1. 直接展开计算：
根据行列式的定义，我们可以先按第一列展开：
$$
V(1, 2, 3) = 1 \cdot
\begin{vmatrix}
2 & 4 \\
3 & 9
\end{vmatrix}
- 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 4 \\
1 & 9
\end{vmatrix}
+ 1 \cdot
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3
\end{vmatrix}.
$$
分别计算子行列式：
$$
\begin{vmatrix}
2 & 4 \\
3 & 9
\end{vmatrix} = 2 \cdot 9 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6,
$$
$$
\begin{vmatrix}
1 & 4 \\
1 & 9
\end{vmatrix} = 1 \cdot 9 - 4 \cdot 1 = 9 - 4 = 5,
$$
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3
\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1.
$$
将结果代入原式：
$$
V(1, 2, 3) = 1 \cdot 6 - 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 = 6 - 5 + 1 = 2.
$$
2. 利用公式验证：
根据范德蒙德行列式的性质：
$$
V(1, 2, 3) = \prod_{1 \leq i < j \leq 3} (x_j - x_i).
$$
具体计算为：
$$
(2 - 1)(3 - 1)(3 - 2) = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2.
$$
两种方法得到的结果一致，验证了计算的正确性。
总结
范德蒙德行列式的核心在于其结构简单且具有明确的表达式。通过本例题可以看出，无论是直接展开还是利用公式，都可以有效地求解此类问题。掌握这一工具不仅有助于解决线性代数中的基础问题，还能为进一步研究更复杂的数学问题奠定坚实的基础。希望本文能为读者提供一定的启发和帮助！
