问arctanx的原函数怎么算

【arctanx的原函数怎么算】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是常见的问题之一。对于反三角函数如 arctanx，其原函数的计算需要借助积分技巧，尤其是分部积分法。本文将总结如何计算 arctanx 的原函数，并以表格形式清晰展示关键步骤和公式。

一、arctanx 的原函数计算方法

arctanx 是一个常见的反三角函数，它的导数为：

$$

\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

$$

但我们要找的是它的原函数，也就是：

$$

\int \arctan x \, dx

$$

这个问题可以通过分部积分法来解决。设：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则有：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \, dx

$$

接下来对右边的积分进行计算：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} \, dx

$$

令 $ t = 1 + x^2 $，则 $ dt = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{1}{2} dt $，所以：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln t + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

因此，最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、总结与表格

三、最终答案

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

其中，C 为积分常数。

四、小结

通过分部积分法，我们可以有效地求出 arctanx 的原函数。该过程虽然涉及一些代数变换，但逻辑清晰、步骤明确，是学习不定积分的重要练习。掌握这一方法后，可以拓展到其他反三角函数的积分问题。