正切（tan）函数是三角函数中的一种，它在数学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。正切函数定义为一个角的对边与邻边的比值，在直角三角形中，如果一个角不是直角，那么这个角的正切值就是该角所对的直角边与相邻直角边的长度之比。

正切函数的基本公式

正切函数的定义可以表示为：

\[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \]

其中，\(\sin(\theta)\) 和 \(\cos(\theta)\) 分别代表角度 \(\theta\) 的正弦值和余弦值。由于正弦值是角的对边与斜边的比值，而余弦值是角的邻边与斜边的比值，因此，正切值实际上是这两个比值的商，即对边与邻边的比值。

一些重要的恒等式

1. 互补角关系：对于任意角 \(\theta\)，有 \(\tan(90^\circ - \theta) = \cot(\theta)\)，其中 \(\cot(\theta)\) 是正切的倒数，即 \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}\)。

2. 和差公式：正切函数也具有和差公式，如 \(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}\) 和 \(\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}\)。这些公式在解决涉及多个角度的复杂问题时非常有用。

3. 倍角公式：\(\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}\)。这个公式用于计算角度两倍的正切值。

应用实例

正切函数在实际应用中非常广泛，例如在建筑学中计算坡度，在航海和航空导航中确定方向，在电子工程中分析交流电路的相位差等。通过理解和运用这些基本的正切函数公式及其性质，我们可以更好地解决各种实际问题。