向量积，也被称为外积或叉积，是两个三维向量之间的一种二元运算。它产生一个新的向量，这个新向量垂直于原来的两个向量，并且其方向遵循右手定则。向量积在物理学和工程学中有着广泛的应用，比如在计算力矩或者电磁场时。

向量积的定义

设有两个三维向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，它们的向量积 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 可以通过行列式来定义：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

\]

这里，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别是x轴、y轴和z轴方向上的单位向量。上述行列式可以展开为：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

\]

计算步骤

1. 确定向量：首先明确你要进行向量积的两个向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\)。

2. 应用公式：使用上面给出的公式计算向量积。

3. 结果解释：得到的结果是一个新的向量，其三个分量分别由上面的公式计算得出。

例子

假设我们有两个向量 \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) 和 \(\mathbf{b} = (4, 5, 6)\)，计算它们的向量积：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (26 - 35)\mathbf{i} - (16 - 34)\mathbf{j} + (15 - 24)\mathbf{k}

\]

简化后得到：

\[

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3)\mathbf{i} - (-6)\mathbf{j} + (-3)\mathbf{k} = (-3, 6, -3)

\]

因此，向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 的向量积为 \((-3, 6, -3)\)。

理解向量积的概念和计算方法对于学习物理、工程以及数学中的许多领域都是至关重要的。