【平行向量公式】在向量运算中，平行向量是一个重要的概念。两个向量如果方向相同或相反，则称为平行向量。掌握平行向量的判断方法和相关公式，有助于在几何、物理以及工程计算中更准确地进行分析。
一、平行向量的基本定义
若两个非零向量 a 和 b 满足存在一个实数 k，使得：
$$
\mathbf{a} = k \cdot \mathbf{b}
$$
则称向量 a 与 b 平行（也称为共线向量）。这里的 k 是比例系数，可以是正数、负数或零（但 b 不能为零向量）。
二、平行向量的判断方法
1. 向量表达式法：若两向量满足 a = k·b，则它们平行。
2. 坐标表示法：设向量 a = (x₁, y₁)，向量 b = (x₂, y₂)，若存在 k 使得：
$$
x₁ = k \cdot x₂,\quad y₁ = k \cdot y₂
$$
则 a 与 b 平行。
3. 行列式法：若两向量 a = (x₁, y₁) 和 b = (x₂, y₂) 平行，则它们的行列式为零：
$$
\begin{vmatrix}
x₁ & x₂ \\
y₁ & y₂
\end{vmatrix} = x₁y₂ - x₂y₁ = 0
$$
三、平行向量的公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 向量比例关系 | $\mathbf{a} = k \cdot \mathbf{b}$ | 若存在实数 $k$，则两向量平行 |
| 坐标比例关系 | $x₁ = k \cdot x₂$, $y₁ = k \cdot y₂$ | 通过坐标分量判断是否成比例 |
| 行列式判别法 | $x₁y₂ - x₂y₁ = 0$ | 两向量平行时行列式为零 |
四、应用示例
设向量 a = (2, 4)，b = (1, 2)，判断它们是否平行。
- 方法一：观察是否成比例
$2 = 2 \times 1$，$4 = 2 \times 2$，符合比例关系，故 a 与 b 平行。
- 方法二：行列式法
$2 \times 2 - 1 \times 4 = 4 - 4 = 0$，说明两向量平行。
通过以上内容可以看出，平行向量的判断可以通过多种方式实现，而核心在于是否存在比例关系或行列式为零。掌握这些公式和方法，能有效提升向量分析的准确性与效率。