【平面向量的所有公式归纳】在高中数学中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅在几何问题中广泛应用，还在物理、工程等领域中发挥着重要作用。为了帮助学习者更好地掌握平面向量的相关知识，本文对平面向量的基本概念和常用公式进行了系统归纳，便于复习与应用。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示 |
| 零向量 | 长度为0的向量，方向不确定 |
| 单位向量 | 长度为1的向量 |
| 相等向量 | 方向相同且长度相等的向量 |
| 相反向量 | 方向相反但长度相等的向量 |
二、向量的表示方法
| 表示方式 | 说明 |
| 几何表示 | 用有向线段表示，如 $\vec{AB}$ |
| 坐标表示 | 若点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则 $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ |
| 符号表示 | 用字母表示，如 $\vec{a}, \vec{b}$ |
三、向量的运算
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||||
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ | 向量的加法满足交换律和结合律 | ||||
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ | 可视为加上相反向量 | ||||
| 数乘向量 | $k\vec{a} = (kx, ky)$ | $k$ 为实数，改变向量的长度和方向（当 $k < 0$ 时方向相反） | ||||
| 点积（数量积） | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ 或 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ | 结果为一个标量，反映两向量夹角的余弦值 | |
| 叉积（向量积） | 在二维中无定义，三维中 $\vec{a} \times \vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y - a_yb_x)$ | 结果为一个垂直于两向量的向量 |
四、向量的模长与单位化
| 公式 | 说明 | ||
| 模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{x^2 + y^2}$ |
| 单位向量 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$（当 $\vec{a} \neq \vec{0}$） |
五、向量的夹角与投影
| 公式 | 说明 | ||||
| 夹角公式 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | |
| 投影长度 | $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | }$ | ||
| 投影向量 | $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right)\vec{b}$ |
六、向量共线与垂直
| 条件 | 说明 |
| 共线（平行） | $\vec{a} = k\vec{b}$，即 $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$（若 $x_2, y_2 \neq 0$） |
| 垂直 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，即 $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$ |
七、向量的应用
| 应用场景 | 说明 |
| 平面几何 | 如求两点之间的距离、判断图形形状等 |
| 物理力学 | 如力的合成与分解、速度和加速度的矢量分析 |
| 图形变换 | 如平移、旋转、缩放等操作中的向量表示 |
通过以上内容的整理，可以看出平面向量的知识体系较为完整，涵盖了从基础概念到实际应用的多个方面。掌握这些公式和原理，有助于提高解题效率，增强对向量问题的理解能力。建议在学习过程中多做练习，结合图形理解抽象概念，从而更深入地掌握这一重要内容。